Question

如图，在直四棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C₁C的中点．

（1）求证：AC₁∥平面PBD；

（2）求证：BD⊥A₁P．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）连接AC交BD于O点，连接OP，证出AC1∥OP，再由线面平行的判定定理即可证出.

（2）首先由线面垂直的判定定理证出BD⊥面AC1，再由线面垂直的定义即可证出.

（1）

连接AC交BD于O点，连接OP，

因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，

所以O点是AC的中点，所以AO=OC．

又因为点P是侧棱C1C的中点，所以CP=PC1，

在△ACC1中，，所以AC1∥OP，

又因为OP⊂面PBD，AC1⊄面PBD，

所以AC1∥平面PBD．

（2）连接A1C1．因为ABCD–A1B1C1D1为直四棱柱，

所以侧棱C1C垂直于底面ABCD，

又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD，

因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

又AC∩CC1=C，AC⊂面AC1，CC1⊂面AC1，所以BD⊥面AC1，

又因为P∈CC1，CC1⊂面ACC1A1，所以P∈面ACC1A1，

因为A1∈面ACC1A1，所以A1P⊂面AC1，所以BD⊥A1P．