Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆C:(>>0)的右焦点为F(1，0)，且过点(1，)，过点F且不与轴重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且满足.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若，求直线AB的方程.

Answer

(1) ；(2) .

【解析】

（1）代入椭圆方程，结合关系，即可求出椭圆标准方程；

（2）设直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理，得出两点的坐标关系，进而求出点坐标，代入椭圆方程，即可求出直线方程.

(1)由题意可知，=1，且

又因为，

解得，，

所以椭圆C的标准方程为；

(2)若直线AB的斜率不存在，则易得，，

∴，得P(，0)，

显然点P不在椭圆上，舍去；

因此设直线的方程为，设，，

将直线的方程与椭圆C的方程联立，

整理得，

∴，

则由

得

將P点坐示代入椭圆C的方程，

得(*)；

将代入等式(*)得

∴

因此所求直线AB的方程为.