Question

如图所示，在直三棱柱中，，，，为线段的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）连接，设与交于点，连接，利用中位线定理得出，再利用线面平行的判定定理可得出结论；

（Ⅱ）以为坐标原点，分别以射线、、的方向为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法以及同角三角函数的基本关系可求得二面角的正弦值.

（Ⅰ）连接，设与交于点，连接，

由题可知四边形为矩形，所以点为的中点.

又因为是的中点，所以.

因为平面，平面，所以平面；

（Ⅱ）由题可知，，所以.

又因为平面，所以可以为坐标原点，分别以射线、、的方向为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，.

所以，，，.

设平面的一个法向量为.

则，令，可得.

同理可得平面的一个法向量为.

所以，

设二面角的大小为，则.

因此，二面角的正弦值为.