Question

已知椭圆的离心率为，且过点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设为坐标原点，点在直线上，点在椭圆上，若，证明：点到直线的距离为定值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据椭圆的离心率得出，再将点的坐标代入椭圆的标准方程求出与的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设、的坐标分别为，，其中，由得出，求出和，利用等面积法可求出点到直线的距离，进而证明出结论成立.

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意得，所以，.

又因为椭圆过点，所以，解得，

所以椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）设、的坐标分别为，，其中.

因为，所以，即，解得.

，，

由等面积法可知，点到直线的距离为

（定值）.

因此，点到直线的距离为定值.