Question

已知椭圆 的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线 垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点.

（I）求椭圆C的方程；

（II）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线 交于点Q，且,求点P的坐标.

Answer

（I）．

（II）

【解析】

（I）写出坐标，利用直线与直线垂直，得到.求出点的坐标代入，可得到的一个关系式，由此求得和的值，进而求得椭圆方程.（II）设出点的坐标，由此写出直线的方程，从而求得点的坐标，代入，化简可求得点的坐标.

（I）∵椭圆的左焦点，上顶点，直线AF与直线垂直

∴直线AF的斜率，即 ①

又点A是线段BF的中点

∴点的坐标为

又点在直线上

∴ ②

∴由①②得：

∴

∴椭圆的方程为．

（II）设

由（I）易得顶点M、N的坐标为

∴直线MP的方程是：

由 得：

又点P在椭圆上，故

∴

∴

∴或（舍）

∴

∴点P的坐标为