Question

如图，圆柱体木材的横截面半径为，从该木材中截取一段圆柱体，再加工制作成直四棱柱，该四棱柱的上、下底面均为等腰梯形，分别内接于圆柱的上、下底面，下底面圆的圆心在梯形内部，，，，设.

（1）求梯形的面积；

（2）当取何值时，直四棱柱的体积最大？并求出最大值（注：木材的长度足够长）

Answer

（1）；（2）当时，体积取最大值为

【解析】

（1）根据等腰梯形的性质，结合锐角三角函数的定义可以求出、以及等腰梯形的高、、的表达式，最后求出等腰梯形的面积表达式即可；

（2）利用棱柱的体积公式求出四棱椎体积的表达式，令，进行换元，利用导数求出体积的最大值即可.

（1）由条件可得，，所以梯形的高.

又，.所以梯形的面积

.

（2）设四棱柱的体积为，因为，

所以.

设，因为，所以，所以，，

由，令，得，

与的变化情况列表如下：

+

0

－

↗

极大值

↘

所以，在时取得极大值，即为最大值，且最大值.此时

答：当时，四棱柱的体积取最大值为.