Question

已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）设函数的导函数是，若不等式对于任意的实数恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，是函数的导函数，若函数存在两个极值点，，且，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（Ⅰ）当时，，（1）．，可得（1）．利用点斜式即可得出切线方程．

（Ⅱ），．不等式，化为：．令在上恒成立，（1）．可得在上恒成立，化为：即可得出．

（Ⅲ）根据可得和关于x的函数表达式，根据存在两个极值点，，可得=0在上有两个不等实数根，．因此，得出a的取值范围．并根据，满足，代入简化，利用导数研究其单调性即可得出结果．

【解析】
（Ⅰ）当时，，（1）．

，（1）．

曲线在点（1,）处的切线方程为：，化为：．

（Ⅱ），．

不等式，即，化为：．

令在上恒成立，（1）．

在上恒成立，化为：．

的取值范围是．

（Ⅲ）设函数，

，．

存在两个极值点，，

在上有两个不等实数根，．

因此，且，．

解得．

，，满足，

．

化为：．

，．

化为：，

令（a），，（1）．

，

（a）在上单调递增，

．

实数的取值范围是．