Question

已知数列满足：（常数），，（，）.数列满足：.

（1）分别求，，的值：

（2）求数列的通项公式；

（3）问：数列的每一项能否均为整数？若能，求出的所有可能值；若不能，请说明理由.

Answer

（1），；（2）；（3）能，的所有取值为1和2.

【解析】

（1）利用递推公式和已知能求出的表达式，再根据进行求解即可；

（2）把递推公式变形，得到一个等式，再递推一步，再得到一个等式，两个等式相减，再经过变形，能得到以，即，最后求出数列的通项公式；

（3）假设存在正整数，使得数列的每一项均为整数.由（2）可得：，根据是整数，求出求出的值，然后逐一进行验证即可.

（1）因为，，所以，

因为，所以，；

（2）当时，，……①，所以，……………②

①－②有：，即：，

所以，即，所以

（3）假设存在正整数，使得数列的每一项均为整数.

由（2）知……③

因为，，所以，

检验：当的，为整数，且，，结合③，数列的每一项均为整数，符合；

当时③变为

消去，得：（），因为，，所以数列的偶数项均为整数，

又因为，所以为偶数，且，所以，奇数项均为整数，符合.

综上：的所有取值为1和2.