Question

已知函数，其中.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）记函数的导函数是，若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围；

（3）设函数，是函数的导函数，若函数存在两个极值点，，且，求实数的取值范围.

Answer

（1） （2） （3）

【解析】

（1）根据导数的几何意义即可求切线方程；

（2）先求导，则不等式对任意的实数恒成立，转化为对任意实数恒成立，构造函数，，分类讨论，即可求出的范围；

（3）先求导，根据函数存在两个极值点，可得，且，，再化简可得到，构造，，求出函数的最值即可．

【解析】
（1）当时，，其中，故.

，故.

所以函数在处的切线方程为，即.

（2）由，可得.

由题知，不等式对任意实数恒成立，

即对任意实数恒成立，

令，.故.

①若，则，在上单调递增，，故符合题意.

②若，令，得（负舍）.

当时，，在上单调递减，故，与题意矛盾，

所以不符题意.

综上所述，实数的取值范围.

（3）据题意，其中.

则.因为函数存在两个极值点，，

所以，是方程的两个不等的正根，

故得，且

所以

；

，

据可得，，

即，

又，故不等式可简化为，

令，，则，

所以在上单调递增，又，

所以不等式的解为.所以实数的取值范围是.