Question

已知数列满足：（常数），.数列满足：.

（1）求的值；

（2）求出数列的通项公式；

（3）问：数列的每一项能否均为整数？若能，求出k的所有可能值；若不能，请说明理由.

Answer

(1) ；(2) ； (3) k为1，2时数列是整数列.

【解析】

（1）经过计算可知：，由数列满足：（n＝1，2，3，4…），从而可求；
（2）由条件可知．得，两式相减整理得，从而可求数列的通项公式；
（3）假设存在正数k，使得数列的每一项均为整数，则由（2）可知：
，由，，可求得．证明时，满足题意，说明时，数列是整数列．

（1）由已知可知：，

把数列的项代入

求得；

（2）由

可知：①

则：②

①−②有：，

即：

…，…，

；

（3）假设存在正数k使得数列的每一项均为整数，

则由（2）可知：③，

由，，可知，2.

当时，为整数，利用结合③式可知的每一项均为整数；

当时，③变为④

用数学归纳法证明为偶数，为整数.

时结论显然成立，假设时结论成立，

这时为偶数，为整数，

故为偶数，为整数，

时，命题成立.

故数列是整数列.

综上所述k为1，2时数列是整数列.