Question

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为且右焦点到右准线的距离为.

（1）求椭圆的标准方程：

（2）过点的直线与椭圆交于两点，与交于点是弦的中点，直线与交于点.若与的面积之比是，求的长度.

Answer

（1）（2）

【解析】

(1)根据椭圆的基本量求解即可.

(2)设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,利用中点坐标公式与韦达定理求得点的坐标,进而求得的面积与的面积关于的表达式,再利用与的面积之比是化简求解,从而求得的长度.

【解析】
由题意,得,解得

所以

所以椭圆的标准方程为

由题意,当直线的斜率不存在或为零时显然不符合题意；

所以设的斜率为,则直线的方程为,

又准线方程为,

所以点的坐标为,

由,得

即

所以

所以的面积为

因为

从而直线的方程为,（也可用点差法求解）

所以点的坐标为,故

所以的面积为

因为与的面积之比是

所以

解得

所以,解得

所以