Question

设函数.

（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值：若不存在，说明理由：

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围：

（3）若函数存在两个极值点，证明：

Answer

（1）不存在极值，详见解析（2）（3）证明见解析

【解析】

(1)代入,设,再求导分析的单调性与最值,进而可得即可知函数不存在极值.

(2)根据(1)中可分当时,与两种情况,再求导分析函数的最小值判断是否能够成立即可.

(3)由题意①,②,再两式相减构造证明恒成立即可.

【解析】
因为,所以

设

则

因为时,单调递减，时,单调递增

所以时,取得极小值也是最小值,此时

所以,即在上恒成立,

所以函数不存在极值.

由因为,所以在上单调递增,

所以当

若,即,

所以在上恒成立,所以在上单调递增,

所以

若,即,则

又因为,且在上是单调递增不间断的函数,

所以存在唯一的使得.

在区间上,,

所以在上恒成立,所以在上单调递减,

所以,与题设矛盾,所以不成立.

综上可知：.

因为①,

②

由①-②得：,即

要证,只要证

即证

设,因为,所以

即证

令

则

所以单调递减,所以,原命题得证.