Question

如图，三棱柱中，底面为正三角形，且，是的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是，若存在，求长；若不存在，说明理由.

Answer

（1）见证明；（2）见解析

【解析】

(1)先根据线面垂直性质得到，然后再证明，依据面面垂直的判定定理证明平面平面

(2)假设存在点，利用等体积法，求出的长，然后看点是否在侧棱上

(1) 三棱柱中，平面

则

底面为正三角形，且是的中点

则

与是平面内两条相交直线

则

平面

平面平面

(2)假设在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是，如下图所示：

，

底面为边长为3的正三角形，是的中点

,

,

代入已知条件，解得

即

在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是，