Question

在直三棱柱中，，，，，点是的中点.

（1）求证：；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的平面角的正切值.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）先证得平面,再求证即可；

（2）设与交于点,连接,利用中位线性质可得,进而求证即可；

（3）连接,易证得为二面角的平面角,进而求解即可.

（1）证明:因为直三棱柱,

所以平面,则,

因为,,,所以,即,

因为,平面,

则平面,

因为平面,

所以

（2）证明:设与交于点,连接,

因为,则,

所以,

因为点是的中点,

所以,

因为平面,

所以平面

（3）连接,因为,,所以,

所以,

因为,所以,

所以为二面角的平面角,

因为平面,所以,

则,

则二面角的平面角的正切值为