Question

在四棱锥中，为与的交点，平面，是正三角形，，.

（1）求异面直线和所成角的大小；

（2）若点为棱上一点，且平面，求的值；

（3）求证：平面平面.

Answer

（1）（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）由可得异面直线和所成角为和所成角,进而求解即可；

（2）由平面可得,则,再由求解即可；

（3）取的中点,连接,,由正三角形可得,再利用勾股定理可得,进而求证即可.

（1）因为,所以异面直线和所成角为和所成角,即,

因为是正三角形,,所以,

因为平面,所以平面,

因为平面,所以,所以是等腰直角三角形,

所以,

即异面直线和所成角为

（2）因为平面,平面,平面平面,

所以,

所以,

因为,,

所以,

所以

（3）证明:取的中点,连接,,

因为是正三角形,,所以,

因为是中点,所以,

因为平面,所以,,,

因为,所以,,

设,在等腰直角三角形中,,

在中,,

在直角梯形中,,

因为,点为的中点,

所以,

在中,,

在中,由,,,可知,

所以,

由,,,,平面,

所以平面,

又平面,

所以平面平面