Question

在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，F是BC的中点

（1）求证：EF∥平面A₁DC₁；

（2）若长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，夹在平面A₁DC₁与平面B₁EF之间的几何体的体积为，求点D到平面B₁EF的距离.

Answer

（1）证明见详解；（2）2．

【解析】

（1）因为//，由线线平行，即可推证线面平行；

（2）先根据几何体的体积求解出长方体的高，再用等体积法求得点到面的距离即可.

（1）证明：由题意，连接AC，如下图所示：

∵E是AB的中点，F是BC的中点，

∴EF∥AC，

∵四边形ACC1A1是平行四边形，

∴AC∥A1C1，

∴EF∥A1C1，

∵A1C1⊂平面A1DC1，

∴EF∥平面A1DC1，即证.

（2）由题意，设长方体的高为h．

∵22＝2，

∴hh．

∵S△BEF11，

∴S△BEFhhh．

∵22h＝4h，

∴4hhhh，

解得h＝2．

又∵EF，DE＝DF，

容易知S△DEF.

∴S△DEFB1B2．

∵EF，B1E＝B1F，

∴S△DEF．

设点D到平面B1EF的距离为d．

∵，

∴d，

解得d＝2．

∴点D到平面B1EF的距离为2．