Question

已知函数f（x）＝ae^x﹣2x+1．

（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；

（2）若f（x）＞0对x∈R成立，求实数a的取值范围

Answer

（1）极小值为3﹣2ln2，无极大值；（2）．

【解析】

（1）求导，判断函数单调性，根据单调性求得极值；

（2）分离参数，构造函数，求解函数的最值，即可求得参数的范围.

（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣2x+1，则f′（x）＝ex﹣2，

令f′（x）＜0，解得x＜ln2；令f′（x）＞0，解得x＞ln2；

故函数f（x）在（﹣∞,ln2）上递减，在（ln2,+∞）上递增，

故函数f（x）的极小值为f（ln2）＝2﹣2ln2+1＝3﹣2ln2，无极大值；

（2）f（x）＞0对x∈R成立，即为对任意x∈R都成立，

设，则a＞g（x）max

，

令g′（x）＞0，解得；令g′（x）＜0，解得；

故函数g（x）在递增，在递减，

∴，

故实数a的取值范围为．