Question

已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣1．

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）当f（x）≤1，求实数a的取值范围．

Answer

（1）[2,+∞）；（2）0≤a≤4．

【解析】

（1）将函数写成分段函数的形式，画出函数图像，数形结合求得不等式解集；

（2）将恒成立问题转化为求解绝对值不等式的最值问题，再利用绝对值三角不等式求得最值即可.

（1）a＝1时，

函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣2|﹣1；

画函数f（x）的图象，如图所示；

由图象知，不等式f（x）≥0的解集为[2,+∞）；

（2）令f（x）≤1，得f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣1≤1，

即|x﹣a|﹣|x﹣2|≤2（*）；

设g（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|，

则g（x）≤|（x﹣a）﹣（x﹣2）|＝|﹣a+2|＝|a﹣2|，

当且仅当时，或时，取得最大值.

不等式（*）可化为|a﹣2|≤2，

即﹣2≤a﹣2≤2，

解得0≤a≤4；

所以实数a的取值范围是0≤a≤4．