Question

如图,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,交于点,为中点,,.

（1）求证:;

（2）求证:平面;

（3）求二面角的大小.

Answer

（1）答案见解析（2）答案见解析（3）.

【解析】

（1）要证明,只需证明面,即可求得答案;

（2）要证明平面,只需证,即可求得答案;

（3）以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,求得平面的法向量和平面的法向量,根据,即可求得答案.

（1）正方形和矩形所在的平面互相垂直,

平面,

平面,

,

是正方形,

,

,

面,

平面,

.

（2）连结,如图:

交于点,为的中点,

,

四边形是平行四边形,

,

又不包含于平面,平面,

平面.

（3）以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,

如图:

,,,,

,,,

设平面的法向量,

则,

取,可得,

又平面的法向量,

,

,

二面角的平面角为.