Question

已知圆经过两点，，且圆心在直线：上．

（1）求圆的方程；

（2）设圆与轴相交于、两点，点为圆上不同于、的任意一点，直线、交轴于、点．当点变化时，以为直径的圆是否经过圆内一定点？请证明你的结论．

Answer

（1）；（2）当点变化时，以为直径的圆经过定点．证明见解析

【解析】

（1）设圆圆心为，由求得的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程；

（2）设（），由条件求得，的坐标，可得圆的方程，再根据定点在轴上，求出定点的坐标。

（1）设圆圆心为，

由得，，

解得，∴，

半径为，

所以圆：

（2）设（），则．

又，，

所以：，，

：，．

圆的方程为．

化简得，

由动点关于轴的对称性可知，定点必在轴上，

令，得．又点在圆内，

所以当点变化时，以为直径的圆经过定点．