Question

如图，已知平面是正三角形，.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的正切值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取 的中点 的中点 ，证明 ，由 根据线面垂直判定定理可得 ，可得 平面 ，结合面面垂直的判定定理，可得平面 平面 ；
（2）过作 ，连接BM，可以得到 为二面角 的平面角，解三角形 即可求出二面角的正切值．

【解析】
（1）取BE的中点F. AE的中点G，连接GD，CF

∴,GF∥AB

又∵,CD∥AB

∴CD∥GF，CD=GF,

∴CFGD是平行四边形,

∴CF∥GD,

又∵CF⊥BF，CF⊥AB

∴CF⊥平面ABE

∵CF∥DG

∴DG⊥平面ABE，

∵DG⊂平面ABE

∴平面ABE⊥平面ADE；

（2）∵AB=BE，

∴AE⊥BG，

∴BG⊥平面ADE，

过G作GM⊥DE，连接BM，则BM⊥DE，

则∠BMG为二面角A−DE−B的平面角，

设AB=BC=2CD=2，则,

在Rt△DCE中，CD=1，CE=2,

∴,

又,

由DE⋅GM=DG⋅EG得,

所以，

故面角的正切值为：.