Question

已知函数.

（1）讨论函数的极值；

（2）当时，记函数的最小值为，求的最大值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）由题可知定义域为,求导可得,令,则,分别讨论时与时的函数单调性,进而求解极值；

（2）由（1）可知,对求导可得,令,则,进而判断的单调性,即可求解.

（1）函数的定义域为,又,

令,则,

当时,在时,；在时,,则函数在上单调递减,在上单调递增,故函数的极小值,无极大值；

当时,因为,所以,则函数在上单调递增,此时函数无极值.

综上所述,当时,函数的极小值,无极大值；当时,函数无极值.

（2）由（1）,当时,,则；

令,则,且当时,有；

当时,,则在处取得极大值,同时也是最大值,

则.