Question

正方体的棱长为，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为______，和该截面所成角的正弦值为______．

Answer

【解析】

取中点，中点，中点，连结、、、、、，推导出平面平面，过且与平行的平面截正方体所得截面为，由此能求出过且与平行的平面截正方体所得截面的面积；以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出和该截面所成角的正弦值．

取中点，中点，中点，连结、、、、、，

∵，，，，

∴平面平面，

∴过且与平行的平面截正方体所得截面为，

∵，，四边形是矩形，

∴过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为：

；

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，取，得，

设和该截面所成角为，

则，

∴和该截面所成角的正弦值为．

故答案为；．