Question

已知四棱锥的底面是直角梯形，，为的中点，.

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成的角为，试问“在侧面内是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）推导出，，从而平面．

（2）在平面内作于，连接，推导出平面，则为与平面所成的角，，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点的坐标，从而求出的长度．

【解析】
（1）证明：由四边形是直角梯形，，，，

可得，，从而是等边三角形，，平分．

为的中点，，，

又，，平面，平面平面．

（2）在平面内作于，连接，

平面．

又平面，

平面平面．

因为平面平面，

平面

为与平面所成的角，则，

由题意得

，，为的中点，．

以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，，，，0，，，0，，

假设在侧面内存在点，使得平面成立，

设，，，

由题意得，

，，，，，，，0，，

由，得，

解得，满足题意，