Question

已知椭圆（）的离心率为，连接椭圆四个顶点得到的菱形的面积为4.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆的右顶点，过点作两条互相垂直的直线，分别与椭圆交于，两点，求证：直线过定点；

（3）（只理科做）过点作两条互相垂直的直线，，与圆：交于，两点，交椭圆于另一点，求面积的最大值.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由条件可得，，联立解出即可

（2）设直线：，，，联立直线与椭圆的方程消元可得和，由可得，从而得出或即可

（3）分斜率为0和斜率不为0两种情况讨论，当斜率不为0时，设：，则：，然后用分别表示出和即可

（1）由题意得，，

∵，∴，

∴椭圆的方程为

（2）由题意得，设直线：，，

.

，

∵，∴

∴，∴或

当时，过定点，

当时，过定点（舍）

∴直线过定点

（3）当斜率为0时，

①当斜率不为0时，设：

则：，，

∴

，，

∴

令，，，

∴当时，

综上：.