Question

数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（    ）

A. B. C. D.

Answer

A

【解析】

设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标

设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ①

AB的中点为（1，2）， AB的中垂线方程为，

即x-2y+3=0．联立 解得

∴△ABC的外心为（-1，1）．

则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8  ②

联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．

当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A