Question

设F是椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点，P是椭圆C上的点，圆x²＋y²＝与线段PF交于A，B两点，若A，B三等分线段PF，则椭圆C的离心率为（    ）

A. B.

C. D.

Answer

D

【解析】

取线段PF的中点H，连接OH，OA，由题意可得OH⊥AB，设|OH|＝d，根据椭圆的定义以及在Rt△OHA中，可得a＝5d，在Rt△OHF中，利用勾股定理即可求解.

如图，取线段PF的中点H，连接OH，OA.

设椭圆另一个焦点为E，连接PE.

∵A，B三等分线段PF，∴H也是线段AB的中点，即OH⊥AB.

设|OH|＝d，则|PE|＝2d，|PF|＝2a－2d，|AH|＝.

在Rt△OHA中，|OA|2＝|OH|2＋|AH|2，解得a＝5d.

在Rt△OHF中，|FH|＝，|OH|＝，|OF|＝c.

由|OF|2＝|OH|2＋|FH|2，

化简得17a2＝25c2，.

即椭圆C的离心率为.

故选：D.