Question

已知直线y＝2x﹣m与抛物线C：y²＝2px（p＞0）交于点A，B．

（1）m＝p且|AB|＝5，求抛物线C的方程；

（2）若m＝4p，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．

Answer

（1）y2＝4x；（2）见解析

【解析】

(1)根据韦达定理和弦长公式列方程可得;

(2)联立直线与抛物线,根据韦达定理以及斜率公式可证结论。

（1）直线y＝2x﹣p与抛物线C：y2＝2px（p＞0）联立，可得4x2﹣6p+p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2p，x1x2，

|AB|••5，

解得p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x；

（2）证明：由y＝2x﹣4p联立抛物线方程y2＝2px，可得2x2﹣9px+8p2＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2p，x1x2＝4p2，

即有y1y2•（）＝﹣2p4p2，即有x1x2+y1y2＝0，

可得OA⊥OB．