Question

甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为 (n²－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元．

(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；

(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？

Answer

（1）an＝bn＝a(n∈N*)（2）第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购

【解析】

(1)假设甲超市前n年总销售额为Sn，则Sn＝(n2－n＋2)(n≥2)，因为n＝1时，a1＝a，则n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n＋2)－[(n－1)2－(n－1)＋2]＝a(n－1)，故an＝又b1＝a，n≥2时，bn－bn－1＝a，故bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝a＋a＋a＋…＋a＝a＝a＝a，显然n＝1也适合，故bn＝a(n∈N*)．

(2)当n＝2时，a2＝a，b2＝a，有a2>b2；n＝3时，a3＝2a，b3＝a，有a3>b3；当n≥4时，an≥3a，而bn<3a，故乙超市有可能被甲超市收购．

当n≥4时，令an>bn，则(n－1)a>a

n－1>6－4·.即n>7－4·.又当n≥7时，0<4·<1，

故当n∈N*且n≥7时，必有n>7－4·.

即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．