Question

2018年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次．

（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

	对服务好评	对服务不满意	合计
对商品好评	140
对商品不满意		10
合计			200

（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X．

①求随机变量X的分布列；

②求X的数学期望和方差．

附：，其中n＝a＋b＋c＋d．

P（K^2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer

（1）详见解析（2）①详见解析②，

【解析】

(1)补充列联表，根据公式计算卡方值，进行判断；（2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，x符合二项分布，按照二项分布的公式进行计算即可得到相应的概率值；（ⅱ）按照二项分布的期望和方差公式计算即可.

（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：

对服务好评

对服务不满意

合计

对商品好评

140

40

180

对商品不满意

10

10

20

合计

150

50

200

则．

由于7.407＜7.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关．

（2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，

且X的取值可以是0，1，2，3，

则，，

，．

故X的分布列为

X

0

1

2

3

P

（ⅱ）由于X～B（3，），则，．