Question

如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接交于点，连接，易得，从而得证；

（2）以点为坐标原点，，，分别为，，轴的正向建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式可得结果.

（1）连接交于点，连接，

∵，分别为，的中点，∴.

又平面，平面，

∴平面.

（2）【解析】
∵平面，

∴.

又∵是正方形，∴.

∴平面.

以点为坐标原点，，，分别为，，轴的正向建立空间直角坐标系，

各点坐标如下：，，，，，.

设平面的法向量为，

则，

∴.

∵平面，，

∴取平面的法向量为，

，

∴二面角的余弦值为.