Question

某校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．

（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；

（2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；

（3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？

Answer

（1）第4组的频率为0.2，作图见解析（2）样本中位数的估计值为，平均数为87.25（3）0.9

【解析】

(1)利用频率和为1,计算可得答案,计算可得第四个矩形的高度为0.2÷5=0.04,由此作图即可;

(2) 设样本的中位数为x，由5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06＝0.5解出即可得到中位数,根据77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10计算即可得到平均数;

(3)通过列举法可得所有基本事件的总数以及至少有一人是“优秀”的总数,再利用古典概型概率公式计算可得.

（1）其它组的频率为（0.01+0.07+0.06+0.02）×5＝0.8，所以第4组的频率为0.2，

频率分布图如图：

（2）设样本的中位数为x，则5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06＝0.5，解得x，

∴样本中位数的估计值为，

平均数为77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10＝87.25；

（3）依题意良好的人数为40×0.4＝16人，优秀的人数为40×0.6＝24人

优秀与良好的人数比为3：2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人，

记“从这5人中选2人至少有1人是优秀”为事件M，

将考试成绩优秀的三名学生记为A，B，C，考试成绩良好的两名学生记为a，b，

从这5人中任选2人的所有基本事件包括：

AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10个基本事件，

事件M含的情况是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9个，

所以P（M）0.9．