Question

已知数列的前项和为，且（），数列满足，（）．

（Ⅰ）求数列通项公式；

（Ⅱ）记数列的前项和为，证明：．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析

【解析】

（1）由与的关系式得到时，，由等比数列的定义，可得为等比数列，由求得，写出通项公式即可；

（2）由，代入，，得到，从而得到的通项，应用裂项相消法求得，即可证明.

（Ⅰ）（），①

当时， ，②

①②得，

即，，

，，

又，，

数列是首项为1，公比为2的等比数列，

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

（），

，

，

.