Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，当时，求的最大值.

Answer

（1）当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增；在上单调递减；

（2）

【解析】

（1）先对函数求导，分别讨论和，即可得出结果；

（2）先由（1）得到，，对化简整理，再令，得到，根据（1）和求出的范围，再令，用导数的方法求其最大值，即可得出结果.

（1）由得；

因为，所以；

因此，当时，在上恒成立，所以在上单调递增；

当时，由得，解得或；由得；

所以在，上单调递增；在上单调递减；

综上，当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增；在上单调递减；

（2）若有两个极值点，

由（1）可得， 是方程的两不等实根，

所以，，

因此

，

令，则；

由（1）可知，

当时，，

所以，

令，，

则在上恒成立；

所以在上单调递减，

故.

即的最大值为.