Question

已知函数．

（1）当时，若函数在，（）处导数相等，证明：；

（2）是否存在，使直线是曲线的切线，也是曲线的切线，而且这样的直线是唯一的，如果存在，求出直线方程，如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）见解析（2）存在，

【解析】

（1）求导，则，化简得到，再利用均值不等式到答案.

（2）先设切点求切线方程，再根据切线重合得关于一个切点横坐标的函数，利用导数研究函数只有一个零点的情况，即得答案.

（1）当时，，所以，

由题意，得，因为，所以，

所以，所以，

所以．

（2）曲线在点处的切线方程为：

，

函数在点处的切线方程，

要存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，

只需在处使与重合，

所以

由①得代入②整理得，

设，

则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

则，设，，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

所以．

（ⅰ）当时，，所以，

此时，所以方程有唯一解，

即，此时切线方程为；

（ⅱ）当且时，，

当时，，则，

故函数单调递增，当时，函数单调递减，故，

故，同理可证，成立．

因为，则

.

又由当时，，可得，

则，

所以函数有两个零点，

即方程有两个根，，

即，此时，，则，

所以，

因为，，所以，所以直线不唯一．

综上所述，存在，使是曲线的切线，也是曲线的切线，而且这样的直线是唯一的．