Question

已知圆过点，且与圆关于直线对称.

（1）求圆的方程；

（2）若、为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值；

（3）已知直线，是直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点为、，试探究直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，请说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）设出圆心坐标，由与关于直线对称，根据中点坐标公式及斜率的关系列出关系式，整理求出与的值，再由圆过点，确定出圆方程即可；

（2）设圆心到直线、的距离分别为，，则，由坐标求出的值，表示出与，进而表示出，利用基本不等式求出最大值即可；

（3）由题意可得：、、、四点共圆且在以为直径的圆上，设出坐标，表示出以为直径的圆，与圆方程结合确定出直线方程，即可得到直线恒过的定点坐标．

【解析】
（1）设圆心，根据题意得：，

解得：，

圆方程为，

把代入得：，即圆方程为；

（2）设圆心到直线、的距离分别为，，则，

，，

当且仅当，即时取等号，

，

则四边形的面积最大值为；

（3）直线过定点，定点坐标为，理由为：

由题意可得：、、、四点共圆且在以为直径的圆上，

设，其方程为，即①，

又、在圆上②，

②①得：直线的方程为，即，

由，得，

则直线过定点．