Question

将个编号为、、、的不同小球全部放入个编号为、、、的个不同盒子中.求：

（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？

（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？

（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？

（4）把已知中个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？

Answer

（1）（种）；（2）（种）；（3）（种）；（4）（种）.

【解析】

（1）根据题意知，每个盒子里有且只有个小球，利用排列数可得出结果；

（2）先将个小球分为组，各组的球数分别为、、，然后分配给个盒子中的个盒子，利用组合与排列计数原理可得出结果；

（3）考查编号为的盒子中放入编号为的小球，列举出此种情况下其它个球均未放入相应编号的盒子里，在此种放法种数上乘以可得结果；

（4）空盒编号有种情况，然后将个完全相同的小球放入其它个盒子，没有空盒，利用隔板法求出结果，乘以即得所求放法种数.

（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为（种）；

（2）先将个小球分为组，各组的球数分别为、、，然后分配给个盒子中的个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）；

（3）考查编号为的盒子中放入编号为的小球，则其它个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为、、的盒子中放入的小球编号可以依次为、、或、、，

因此，所求放法种数为（种）；

（4）按两步进行，空盒编号有种情况，

然后将个完全相同的小球放入其它个盒子，没有空盒，

则只需在个完全相同的小球所形成的个空（不包括两端）中插入块板，

由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）.