Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n-n=2（a_n-2），（n∈N^*）

（1）证明：数列{a_n-1}为等比数列．

（2）若b_n=a_n•log₂（a_n-1），数列{b_n}的前项和为T_n，求T_n．

Answer

（1）见解析；

（2）．

【解析】

证明数列是等比数列常用的方法是作商法：当时，证=定值.

考查分组求和，其中又包含错位相减法及等差数列求和公式法

（1）证明：∵Sn-n=2（an-2），n≥2时，Sn-1-（n-1）=2（an-1-2），

两式相减 an-1=2an-2an-1 ，∴an=2an-1，​∴an-1=2（an-1-1），

∴（常数），

又n=1时，a1-1=2（a1-2）得 a1=3，a1-1=2 ，

所以数列{an-1}是以2为首项，2为公比的等比数列．

（2）由（1） ，∴ ，

又  bn=an•log2（an-1），∴，

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=（1×2+2×22+3×23+…+n×2n）+（1+2+3+…+n），

设，

，

两式相减，

∴，又 ，

∴．