Question

椭圆（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，与y轴正半轴交于点B，若△BF₁F₂为等腰直角三角形，且直线BF₁被圆x²+y²＝b²所截得的弦长为2，

（1）求椭圆的方程；

（2）直线l：y＝kx+m与椭圆交于点A，C，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为△PAC的重心，求证：△PAC的面积S为定值；

Answer

（1）1；（2）见解析

【解析】

（1）由题意得b＝c，BF1＝2，求出a、b后即可得解；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），联立方程组得，，由题意x0，y0，△PAC的面积，化简即可得证.

（1）根据题意，由△BF1F2为等腰直角三角形可得b＝c，

直线BF1：y＝x+b被圆x2+y2＝b2所截得的弦长为2，即BF1＝2，

所以a＝2，，所以椭圆的方程为1；

（2）证明：直线l的方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，

x1+x2，x1x2，y1+y2＝k（x1+x2）+2m，

由题意点O为△PAC重心，设P（x0，y0），可得0，0，

所以x0＝-（x1+x2），y0＝-（y1+y2），

代入椭圆1；得1，化为2m2＝1+2k2，

设坐标原点O到直线l的距离为d，

则△PAC的面积S|AC|•3d|x1﹣x2|•|m|•|x1﹣x2|•|m|

•|m|＝3••．

可得△PAC的面积S为定值．