Question

如图，在多面体中，四边形为矩形，，均为等边三角形，，．

（Ⅰ）过作截面与线段交于点，使得平面，试确定点的位置，并予以证明；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）为线段的中点，证明见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取中点，连结，，可得，，，且．可得，从而面，即面面．

（Ⅱ）连结交于，则为的中点，连结，当面时，，所以是中点．由（1）知，，两两垂直，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量求解．

【解析】
（Ⅰ）取中点，连结，，

是边长为2的正三角形，，，

又，，且．

于是，从而．

面，面，

所以面，而面，所以面面．

（Ⅱ）连结交于，则为的中点，连结，当面时，，所以是中点．

由（Ⅰ）知，，两两垂直，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，， ， ，，

，．

设面的法向量为，由，取．

面的法向量是，

，，

．

二面角是钝角，二面角的余弦值为．