Question

已知以线段EF为直径的圆内切于圆O：x²+y²＝16．

（1）若点F的坐标为（﹣2，0），求点E的轨迹C的方程；

（2）在（1）的条件下，轨迹C上存在点T，使得，其中M，N为直线y＝kx+b（b≠0）与轨迹C的交点，求△MNT的面积．

Answer

（1）；（2）2．

【解析】

（1）设FE的中点为Q，切点为G，连OQ，QG，取F关于y轴的对称点F′,可得|F′E|+|EF|＝8,由椭圆的定义，可得解.

（2）联立MN与椭圆的方程，由T在椭圆上得到k,b关系，利用k,b 表示△MNT的底边MN和高，即得解.

设FE的中点为Q，切点为G，连OQ，QG，

则|OQ|+|QG|＝|OG|＝4

取F关于y轴的对称点F′，连F′E，

故|F′E|+|EF|＝2（|OQ|+|QG|）＝8．

所以点E的轨迹是以F′，F为焦点，长轴长为4的椭圆．

其中，a＝4，c＝2，b＝2，

则曲线C的方程为；

（2）由题意，设M（x1，y1），N（x2，y2），则T（x1+x2，y1+y2）．

联立直线MN与曲线C方程，可得

，

整理，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣16＝0．则

∴．

∵y1+y2＝k（x1+x2）+2b＝k•（）+2b．

∴T（，）．

∵点T在轨迹C上，

∴（）2+4•（）2＝16．

化简，整理，得：b2＝4k2+1．

又∵|MN|•|x1﹣x2|

•

•

＝4•．

点T到直线MN的距离d．

∴S△MNT•|MN|•d

•4•

＝2．