Question

在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²﹣4ρsin（θ）＝0．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l的参数方程是（α为参数），且α∈（，π）时，直线l与曲线C有且只有一个交点P，求点P的极径．

Answer

（1）．（2）4

【解析】

（1）展开ρ2﹣4ρsin（θ）=，利用极坐标和直角坐标互化公式，即得解.

（2）先转化直线l的参数方程为一般方程，利用圆心到直线的距离等于半径可得解tanα，求出P的坐标，转化为极坐标，即得解.

由极坐标和直角坐标互化公式：

曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsin（θ）=

转换为直角坐标方程为，

即．

（2）直线l的参数方程是（α为参数），且α∈（，π）时，转换为直角坐标方程为，

由于直线l与曲线C有且只有一个交点P，

所以圆心（）到直线的距离d，

又α∈（，π）

解得tanα（舍去）或-1

故直线l的方程为．

与圆C联立可得：

极径长为ρ．