Question

已知函数（），.

（1）当时，与在定义域上的单调性相反，求b的取值范围；

（2）设，是函数的两个零点，且，求证：.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

(1)根据导数判断g(x)的单调性，然后再分析f(x)中b的取值范围；(2)先分别表示出，再利用做差得，将其化简为：；根据要证明的式子：我们可化为，再结合g(x)的性质，判断函数值的正负即可

（1）∵，

∴

由题意可知，与的定义域均为，

∵，

∴在上单调递减，

又时，与在定义域上的单调性相反，

∴在上单调递增，

∴对恒成立，

即对恒成立，

∴只需，

∵，

∴（当且仅当时，等号成立），

∴，

∴b的取值范围；

（2）由已知可得，

∴，

∴，

即，

∴，

从而

，

在上单调递减，且，，

∴当时，，

∴，

又，

∴，

即，

即证.