Question

已知以为圆心的圆.

（1）若圆与圆交于两点，求的值；

（2）若直线和圆交于两点，若，求的值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由两个圆相交，可将两个圆的方程相减求得直线的方程.利用圆心到直线的距离，结合垂径定理即可求得的值.

（2）设，利用向量的坐标运算表示出.将直线方程与圆的方程联立，化简后由求得的取值范围，并表示出，，进而由直线方程表示出.根据平面向量数量积的坐标运算，代入化简计算即可求得的值.

（1）直线的方程为，

即；

故圆的圆心到的距离，

故；

（2）设，则，

由化简可得，

故

解得，

，

所以，

又，

又

故，

故，

将，代入可得，

解得.又因为

所以