Question

已知命题函数在上单调递增；命题函数至少有1个零点.

（1）若为假，求实数的取值范围；

（2）若为假，为真，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）因为为假，则命题为真.令，分离参数并构造函数，求得，由的符号判断函数的单调性与极大值.结合函数图像即可求得的取值范围；

（2）先求得当命题为真命题时的取值范围.再由为假，为真可知一真一假.分类讨论真假、假真，即可求得的取值范围.

（1）依题意若为假，则命题为真，

令，

解得，

令，则，

故当时，，

当，，

作出函数图象如下所示，

所以当时，取得极大值，为

由图像可知若至少有一个零点，则，

即；

（2）当命题为真时，函数在上单调递增，

显然时，不符合题意，

由二次函数性质知解得；

若为假，为真，则一真一假：

若真假，则实数满足则；

若假真，则实数满足则；

综上所述，实数的取值范围.