Question

如图，四边形由边长为2的等边、等边以及等边拼接而成，现沿进行翻折，使得平面平面.

   

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接.可得，，因而平面，即可得.

（2）设到平面的距离为，直线与平面所成角为所以.求得.在中，求得边上的高，即可求得.由等体积法可知，即可求得的值.

（1）证明：取的中点，连接，如下图所示：

依题意，为等边三角形，

故，

是等边三角形，

所以，

又，

所以平面，

又平面，

故；

（2）设到平面的距离为，直线与平面所成角为，

则；

因为平面平面，

所以平面，

，

由，得，故，

因为，故边上的高为，

故，

故，即，

得，

故，

故直线与平面所成角的正弦值.