Question

已知函数.

（1）判断函数的单调性；

（2）若，证明：关于的不等式在上恒成立.

Answer

（1）当时函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先求得导函数，对分类讨论：当时，易得，即可判断函数的单调性；当时，令，求得极值点，即可判断在极值点左右两侧的函数单调性.

（2）将解析式代入，移项后构造函数.求得导函数.根据可知，因而构造函数，求得导函数，可判断的单调性，进而由单调性与最值得，即.由讨论的取值情况，判断的单调性，并求得最值，即可证明，从而证明不等式成立.

（1）函数，

则；

若，则，此时函数在上单调递减；

若，令，解得，

故当时，；

当时，，

故函数在上单调递减，在上单调递增；

（2）证明：要证，即证，

令，

则，

当时，，

令，则当时，，

故函数在上单调递增，

即；

∴.

当时，，当时，，

函数在上单调递减，在上单调递增，

故，

即，

故关于的不等式在上恒成立.