Question

已知函数.

（1）若关于的不等式的解集为，求函数的最小值；

（2）是否存在实数，使得对任意，存在，不等式成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；

（2）不存在实数，使得对任意，存在，不等式成立，理由见解析.

【解析】

(1)利用二次不等式解集的性质与韦达定理求解得,再代入了与基本不等式求最值即可.

(2)由题可知若存在则,根据对数不等式性质可知,再分析二次函数的对称轴与区间的位置关系求得的最值分析即可.

（1）依题意得,2和3是方程的两根

由韦达定理可知：

∴

又∵,∴

当且仅当时等号成立,

所以的最小值为.

（2）假设存在实数,使得对任意,存在,不等式成立

∴

∵时,,∴

∴在成立

记,其对称轴为,

①当,即时,

由,∴…

②当,即时,

由,∴

综上所述,不存在实数,使得对任意,存在,不等式成立.