Question

已知函数，为自然对数的底数.

（1）求证：当时，；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

(1)构造,再求导可得,再对导数求导,继而分析导函数的正负区间进而求得原函数的单调区间求最小值证明即可.

(2) 求导可得,再分,,分析函数的最小值,同时根据零点存在性定理判断是否有两个零点即可.

（1）设…

∴,

∴

∵∴∴

∴在上单调递增,

又

∴时,

∴在上单调递增,

又

∴时,

故当时,；

（2）∵

∴,

①当时,易知函数只有一个零点,不符合题意；

②当时,在上,,单调递减；在上,,单调递增；又,且,且当上,恒成立，

又不妨取且时,

或者考虑：当

所以函数在和在上各有一个零点，即有两个零点.

③当时,由得或

（i）当即时,在上,成立,故在上单调递增,所以函数至多有一个零点,不符合题意

（ii）当即时,在和上,,单调递增；

在上,单调递减；

又,且,

所以函数至多有一个零点,不符合题意

（iii）当即时,在和上,单调递增；在上,单调递减；又,所以函数至多有一个零点,不符合题意

综上所述：实数的取值范围是