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已知数列{an}满足，且． (1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； ...

已知数列{an}满足，且．

(1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

 

(1) an＝(2n－1)2n－1;(2) Sn＝(2n－3)2n＋3. 【解析】 （1）根据等差数列的定义，判断数列是等差数列，并写出它的通项公式以及{an}的通项公式； （2）根据数列{an}的前n项和定义，利用错位相减法求出Sn； (1)证明：因为an＝2an－1＋2n，所以＝＝＋1， 即－＝1，所以数列是等差数列，且公差d＝1，其首项＝，所以＝＋(n－1)×1＝n－，解得an＝×2n＝(2n－1)2n－1. (2)Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，① 2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，② ①－②，得－Sn＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)2n ＝1＋－(2n－1)2n＝(3－2n)2n－3. 所以Sn＝(2n－3)2n＋3.
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